A sua duvida é muito vaga pois há muitas possibilidades de implementar uma logica para essa solução. Um possível caminho é utilizar uma interação através do protocolo MTProto para ouvir um determinado ID e a partir deste ponto você pode utilizar uma programação reativa com rxjs ou socket para que a mensagem seja retransmitida para o seu website.
Disponibilizei uma interação simples utilizando os principios SOLID para tornar o codigo escalavel, para que você dê continuidade do ponto em que disponibilizei: https://github.com/Leandrost15/telesyncer
Para que você seja capaz de ouvir as mensagens de um determinado ID você pode utilizar a função addEventHandler:
import {TelegramClient} from "telegram";
const client = new TelegramClient(new StringSession(''), apiId, apiHash, {});
async function handler(event: NewMessageEvent) {
...
}
client.addEventHandler(handler, new NewMessage({}));
Fonte: https://gram.js.org/beta/classes/TelegramClient.html#addEventHandler
NPM: https://www.npmjs.com/package/telegram